付録7　微分回帰分析

1.ロジスティック関数

医学分野や生物学分野ではロジスティック関数(logistic function)またはロジスティック曲線(logistic curve)をしばしば利用します。 これは1883年に、ピエール＝フランソア・フェルフルスト(Pierre-François Verhulst)が人口予測のための関数として提唱したものです。 フェルフルストは、ある時点における人口の増加速度が、その時の人口と、人口の最大値に対する増加可能人口の割合に比例すると考えてロジスティック方程式と呼ばれる微分方程式を立てました。 その解がロジスティック関数です。 (→9.6 ロジスティック曲線 (注1))

ロジスティック方程式：
ロジスティック関数：
：y₀のロジット＝初期ロジット
y：時点tにおける人口　　M：人口最大値　　c：比例定数 　　y₀：t = 0における人口初期値

例えば閉じた空間で微生物を培養し、微生物の個体数を毎日観察した結果が次の表のような結果になったとします。 これは人口増加の様子をモデル化したものと考えられるので、時間による個体数の変化をロジスティック関数で近似できます。

一般に、このような場合は最小2乗法を利用した回帰分析を用いて近似関数のパラメータを求め、回帰曲線を求めます。 しかしロジスティック関数のパラメータは関数に関して線形ではないので、薬物動態学のコンパートメントモデルと同様に非線形最小2乗法を利用してパラメータを求めるのが普通です。 実際に表 付録7.1のデータにロジスティック関数を当てはめ、非線形最小2乗法を利用してパラメータを求めると次のようになります。 _(注1) (→14.1 コンパートメントモデル (注2))

M = 691.488　　c = 0.430579　　y₀ = 12.9543 　　重寄与率：R² = 0.999079
※0〜12日のデータを用いた時の結果
M = 515.006　　c = 0.69006　　y₀ = 2.40453 　　重寄与率：R² = 0.986551

図 付録7.1のように、このデータにはロジスティック関数が非常にうまく当てはまり、重寄与率が約99.9％もあります。 しかし非線形最小2乗法は適当な初期値を指定し、繰り返し計算によってパラメータを求めるややこしい手法です。 そのためデータの誤差が多かったり、データが最大値付近まで観測されていなくて途中までしかない時は正確な解を求められません。

例えば表 付録7.1のデータが12日目までしか観測されていない時は繰り返し計算が発散してしまい、解をうまく求められません。 そこで繰り返し計算を強制的に収束させてロジスティック関数を求めると、図 付録7.1の赤い破線で描いた不正確な回帰曲線になります。 人口予測では、たいてい人口が最大値に達するかなり前に将来の動向を予測したいのでこれでは困ります。

2.微分関数の回帰分析

そこでロジスティック関数を時間で微分したロジスティック方程式に注目します。 この方程式から、時点tにおける微生物の個体数yとその変化速度v = dy/dtの関係が次のような定数項のない2次関数になることがわかります。 そしてこの定数項のない2次関数の2つのパラメータは関数に関して線形なので普通の線形最小2乗法を利用してこれらの推定値を求め、それによってcとMの推定値を求めることができます。

b₁ = c　　 →

表 付録7.1の個体数を説明変数yにし、増加個体数を目的変数vにして、定数項のない2次関数を当てはめて曲線回帰分析を行うと次のような結果になります。 _(注2)

この方法で求めたcとMの推定値は、全データを用いて非線形最小2乗法で求めたcとMの推定値とよく似ています。 そしてこれは普通の線形回帰分析なので、b₁つまりcの信頼区間を求めることができます。 また2次回帰曲線の信頼区間曲線が横軸と交わる点はMの信頼区間の近似逆算値になります。

さらにこの方法では2次関数のピークを過ぎたところまでデータがあれば、まずまずの精度のcとMの推定値を求めることができます。 例えば表 付録7.1の12日目までのデータを用いて2次関数を求めると、図 付録7.2の青い破線で描いたような2次回帰曲線になります。 この2次回期曲線は全てのデータを用いて求めた2次回帰曲線(赤い実線で描いた曲線)と大きくは異なっておらず、この曲線から求めたcとMの推定値も全てのデータを用いて求めたcとMの推定値と大きくは異なっていません。

3.非線形最小2乗法によるパラメータの推定

ロジスティック方程式はロジスティック関数を時間で微分したものなので、ロジスティック関数の初期値y₀は含まれていません。 そのためロジスティック方程式の2次回帰分析ではy₀を求めることはできません。 そこでロジスティック関数のパラメータcとMをロジスティック方程式の2次回帰分析で求めた推定値に固定して、非線形最小2乗法によってy₀だけを求める方法が考えられます。 この方法では推定するパラメータは1つだけなので3つのパラメータを全て推定する時よりも計算が単純であり、ほとんど発散せずに精度の良い解を求めることができます。

表 付録7.1のデータについて、前節で求めたcとMを用いて、非線形最小2乗法によってy₀を求めると次のような結果になります。 _(注3)

以上のように、この方法で求めたロジスティック関数は非線形最小2乗法によって求めたものとほとんど同じで、しかも12日目までのデータを用いた時も安定して解が求められ、大きくは違わない結果になります。 これは人口予測のように将来の予測したい時には大きな長所になります。

このように複雑な非線形関数を微分して単純な線形関数に変換し、それに線形回帰分析を適用することによって主要なパラメータを求め、求められないパラメータだけを元の関数に非線形回帰分析を適用して求める手法を微分回帰分析(Differential Regression Analysis)と名付けました。 この手法は国立長寿医療研究センターの岡田佑介先生が開発され、僕が数学的な理論付けをお手伝いした新しい統計手法です。 これはロジスティック関数だけでなく、色々な非線形関数に応用することができると思います。

またロジスティック関数のパラメータを非線形最小2乗法によって求める時、Mの初期値が不適切だと安定して収束しません。 そこでMをロジスティック方程式の2次回帰分析によって求めた推定値に固定して、非線形最小2乗法によってy₀とcを求める方法も考えられます。

表 付録7.1のデータについて、前節で求めたMを用いて、非線形最小2乗法によってy₀とcを求めると次のような結果になります。

図 付録7.7を見ると12日目までのデータを用いた時のロジスティック関数が全てのデータを用いた時のロジスティック関数とほとんど重なり、結果の精度が良くなったことがわかると思います。 後で説明する微分ロジット分析もMを固定してy₀とcを求めるので、微分回帰分析によるパラメータの推定もこの方法の方が実用的だと思います。

4.ロジスティック導関数のグラフ

ロジスティック関数が求められれば、それを時間で微分した導関数も求められます。 図 付録7.2は個体数と増加個体数のグラフですが、時間と増加個体数をグラフ化すると次のようになります。 このようなグラフは増加個体数の時間的変化を検討したい時には便利であり、感染症の流行状況を表す流行曲線(Epidemic Curve)などに応用できます。 (→感染症数理モデル 補足2.ロジスティックモデル)

ロジスティック導関数：
M = 698.284　　c = 0.419934　　y₀ = 13.9755
※0 〜 12日のデータを用いた時
M = 662.931　　c = 0.43254　　y₀ = 13.3867

図 付録7.4の柱状グラフは実際の増加個体数であり、赤い実線が全てのデータを用いた時のロジスティック導関数、赤い破線が12日目までのデータを用いた時のロジスティック導関数です。 2本の曲線は大きくは異なっておらず、12日目までのデータを用いて、その後の動向をある程度は予想できることがわかると思います。

厳密にいうとロジスティック関数を微分した導関数の値は、当日の観測時点を中心にして、その半日前から半日後までの増加量になります。 ところが増加個体数は前日の観測時点直後から当日の観測時点までの増加個体数であり、観測期間が後ろに半日分だけずれています。 これは差分法で用いられる後退差分に相当します。 そこで当日の増加個体数(差分)と翌日の増加個体数(差分)の平均値を求めると差分法で用いられる中心差分になり、本来の導関数の値つまり微分値のより正確な推測値になります。

その推測値つまり中心差分は次表のようになります。 最初の0日目の増加個体数は前日の観測時点からの値ではないので、正確性を重視してこの日の中心差分は計算してありません。 また最後の25日目は翌日の増加個体数が求められないので、やはり正確性を重視してこの日の中心差分も計算してありません。 増加個体数つまり後退差分の代わりにこの中心差分を用いて微分回帰分析を行うと以下のような結果になります

以上のように、中心差分を用いてもロジスティック関数そのものはほとんど変わりません。 しかし図 付録7.4と図 付録7.5を比べると、増加個体数(後退差分)よりも中心差分の方がロジスティック導関数によりフィットしていることがわかると思います。

5.微分ロジット分析

ロジスティック関数はyをロジット変換するとロジットに関する線形関数になります。 そこでロジット方程式のMの推定値を2次回帰分析によって求めた後でMを使ってyをロジット変換し、ロジット回帰分析によってy₀とcの推定値を求めることができます。 表 付録7.1のデータについて、中心差分による2次回帰分析によって求めたMを用いたロジット回帰分析によってy₀とcを求めると次のような結果になります。 _(注4)

ロジット変換：
ロジット回帰式：
M = 692.909(固定)　　c = 0.447994　　ly₀ = -4.3491 → y₀ = 8.83711　　重寄与率：R² = 0.99058

図 付録7.6のように、ロジット回帰分析によって求めたロジスティック関数は非線形最小2乗法または微分回帰分析によって求めたものとわずかに異なります。 これは、非線形最小2乗法はyとロジスティック関数との誤差を最小にするようなMとy₀とcを求めるのに対して、ロジット回帰分析はロジットとロジット直線との誤差を最小にするようなy₀とcを求めるのでyとロジスティック関数の適合度が少し悪くなることが原因です。

しかし時間tとロジットlyのグラフを描くと、当然のことながら、次のようにロジット回帰分析によって求めたロジット直線の方が非線形最小2乗法または微分回帰分析によって求めたロジット直線よりも実際のロジットによりフィットします。

それからロジット回帰分析では0以下のデータとM以上のデータはロジット変換できず、計算に入れられません。 そこでそのようなデータについては次のような取り扱い方法が考えられます。

1. 計算から除外する。
2. 次のようなロジットで近似する。
   y ≦ 0 の時： 　　y ≧ 1 の時： 　　ε = 10^-4〜10^-2
3. 繰り返し補完法
   まず2番の方法でy₀とcの初期値を求める。 次にそれらのパラメータと時間tを用いて0以下のデータとM以上のデータの推測ロジットを求め、その推測ロジットで補完してy₀とcを求める。 そしてy₀とcが収束するまでこの計算を繰り返す。

3種類の取り扱いのうち、最も信頼性が高いのは3番目の繰り返し補完法です。 この方法を用いることによって0以下のデータとM以上のデータも近似的に計算に入れることが可能になり、パラメータの値の信頼性を高くすることができます。 表 付録7.1のデータには0以下のデータもM = 692.909以上のデータもないので、全てのデータを計算に入れられます。 しかし誤差の多いデータでは0以下のデータやM以上のデータが有り得るので繰り返し補完法が有用です。

このようにしてyをロジットlyに変換するとtとの関係が直線的になるので、色々な線形回帰分析手法を適用できるようになります。 例えば複数の群についてtとyが観測されていて、それらの群のロジスティック関数が似ているかどうかを調べたいとします。 線形関数の場合、このような時は共分散分析を用いて複数の群の関数のパラメータを比較します。 しかしロジスティック関数は非線形関数ですから共分散分析を非線形関数に拡張した手法を用いる必要があります。 それは理論的には不可能ではないものの、非線形最小2乗法を利用した非常に煩雑な計算が必要であり、解がうまく求められる可能性は群がひとつだけの時よりもかなり小さくなります。

そこでこのような時はyをロジットに変換してから共分散分析を適用するという方法が考えられます。 この方法によって複数の群のロジスティック関数のy₀とcを比較することができます。 またyに影響を与える項目がt以外にも複数あり、それらの影響を考慮してtとyの関係を検討したい時などでも、yをロジット変換することによって重回帰分析を適用できるようになります。

このようにyをロジット変換すると色々な線形回帰分析手法を適用できるようになるので、何かと便利です。 yをロジット変換するにはMだけを求めれば良いので、ロジスティック方程式の2次回帰分析だけで事足ります。 そしてデータがMの近くまで観測されていなくても、まずまずの精度の推定値が得られます。 そこでこの手法を特に微分ロジット分析(Differential logit Analysis)と呼ぶことにしました。 これは微分回帰分析の中でもとりわけ応用範囲が広い手法だと思います。

6.最低値が存在するロジスティック関数

第13章で説明したように、ロジスティック曲線はプロビット曲線と形が似ているので用量反応解析に流用されることがあります。 その場合、用量0の時の反応が0ではない時があります。 つまり反応yに最低値y_mが存在するわけです。 そのy_mが理論的に決まっていたり、用量0の群の結果からy_mの値がわかっていれば、実際の反応yからy_mを引いた値(y-y_m)をデータにして微分回帰分析を行い、用量反応曲線を求めることができます。 (→13.1 用量反応直線)

しかしy_mが理論的には決まらず、しかも用量0の群を置かない時は実際の反応データからy_mを推測する必要があります。 そのような時は次のようなロジスティック関数を用いて微分関数の回帰分析を行い、y_mとMとcを推測して微分回帰分析や微分ロジット分析を行うことができます。

ロジスティック関数：
初期ロジット：
ロジスティック方程式：
v = 0と置いてロジスティック方程式を解くと：
　　
M = y_max - y_m 　　 → c = -b₂M
※ただし(b₁² - 4 b₂ b₀)＞0 かつ b₂＜0 　　b₂＞0 の時はy_minとy_maxが反対になり、c＜0になる。

(注1)　非線形最小2乗法によってロジスティック関数のパラメータを求める時、繰り返し計算用の初期値を指定する必要があります。 まず最大値Mの初期値はデータ中の最大値にし、初期値y₀の初期値はデータ中の最小値または最小値/2にするという方法が考えられます。 比例定数cの初期値を求めるのは少々やっかいですが、次のような方法が考えられます。

ロジスティック曲線の傾きはyが小さい時は小さく、yが大きくなるにつれて大きくなり、y = M/2の時に最大になり、それをすぎるとまた小さくなります。 y = M/2の時の傾き最大値はロジスティック方程式にy = M/2を代入することによって求められます。 そしてその関係からcを逆算することができます。

傾き最大値： →

一方、ロジスティック曲線に回帰直線を当てはめると、y₀付近、y = M/2の点、M付近を通る直線になります。 そしてその回帰直線の傾きは、だいたいロジスティック曲線の傾き最大値の半分程度になります。 そこでロジスティック曲線を当てはめるデータに回帰直線を当てはめ、その回帰直線の傾きからcのラフな推測値を求めることができます。 このラフな推測値をcの初期値にします。

表 付録7.1のデータに回帰直線を当てはめると次のようになります。 そしてMの推定値としてデータの最大値である692を用いれば、cのラフな推定値を求めることができます。

y = 10.1709 + 33.7155t →

この値をcの初期値にし、Mの初期値を692にし、y₀の初期値を最小値/2=2.5にして、非線形最小2乗法によってロジスティック曲線のパラメータを求めると次のようになります。 (→14.1 コンパートメントモデル (注2))

※シンプレック法で収束後、ニュートン法でさらに収束させると59回反復計算後、次の値に収束。
推定値：M = 691.488　　c = 0.430579　　y₀ = 12.9543

線形最小2乗法と同様に非線形最小2乗法も分散分析を行うことができます。 ただし非線形最小2乗法で回帰する関数は定数項が特殊だったり、定数項がなかったりします。 そのため普通の分散分析とは少し異なった計算を行わなければならない時があります。 一般的な直線回帰分析は次のような原理に基づいて分散分析を行います。 (→5.1 相関係数と回帰直線 (注4))

回帰モデル：
最小2乗法： → 最小とするaとbを求める
y_iの分解：
全体平方和： 　　自由度：φ_T = φ_y = n - 1
残差平方和： 　　自由度：φ_R = φ_T - φ_β = n - 2
回帰平方和： 　　自由度：φ_β = φ_T - φ_R = 1
重寄与率：

表 付録7.2 回帰分析の分散分析表

要因	平方和SS	自由度φ	平均平方和Ms(分散V)	分散比F
回帰	Sβ	φβ	Vβ	Fβ=Vβ/VR
残差	SR	φR	VR
全体	ST	φT

この場合の全体平方和は、次のように定数項だけの回帰モデルを用いた回帰分析の残差平方和に相当します。 (→7.1 重回帰モデル (注1))

回帰モデル：
最小2乗法： → 最小とするaを求める
最小2乗解：a = m_y
残差平方和： 　　自由度：φ_R = n - 1

一般に回帰モデルはパラメータが多くなるほど実際のデータによりフィットするようになり、ズレe_iが小さくなって残差平方和Qが小さくなります。 そのため定数項だけの回帰モデルにおけるQと、それに説明変数の1次項を追加した回帰モデルにおけるQを比較すると後者の方が小さく、その差が表 付録7.2の分散分析表における回帰平方和S_βになります。 つまりS_βは回帰係数bによって説明できるズレの大きさ(情報量)を表しているわけです。 このことは直線回帰分析におけるy_iの分解式からもわかると思います。

ロジスティックモデルでも最大値Mだけの回帰モデルを想定することができます。 しかしその回帰モデルの解を最小2乗法で求めてしまうとyの平均値m_yになり、最大値にはなりません。 そこで最大値Mがあり、exp(-ct)の項がなく、y₀ = M/2というモデルを考えます。 その場合の回帰モデルは次のようになります。

回帰モデル：
残差平方和： 　　自由度：φ_R = n - 1

この回帰モデルの残差平方和を全体平方和にすれば、ロジスティックモデルの非線形最小2乗法の分散分析を次のようにして行うことができます。

回帰モデル：
非線形最小2乗法： → 最小とするMとy₀とcを求める
y_iの分解：
全体平方和： 　　自由度：φ_T = φ_y = n - 1
残差平方和： 　　自由度：φ_R = φ_T - φ_β = n - 3
回帰平方和： 　　自由度：φ_β = φ_T - φ_R = 2
重寄与率：

表 付録7.1のデータについて、非線形最小2乗法によって求めたロジスティック曲線のパラメータを用いて分散分析を行うと次のようになります。

全体平方和：S_T = 2038430　　自由度：φ_T = 25
残差平方和：SR = 1876.56　　自由度：φ_R = 23
回帰平方和：S_β = 2036550　　自由度：φ_β = 2
重寄与率：
F_β = 12480.4(p = 2.22045×10^-16) ＞ F(2,23,0.05) = 3.422 … 有意水準5％で有意

表 付録7.3 ロジスティックモデルの分散分析表

要因	平方和	自由度	平均平方和(分散)	分散比(F値)
回帰	2036550	2	1018280	12480.4
残差	1876.56	23	81.5897
全体	2038430	25

0 〜 12日のデータだけ用いると次のような結果になります。

回帰直線：y = -78.0659 + 45.9725t →
初期値：M = 515　　c = 0.714136　　y₀ = 2.5
※シンプレック法＋ニュートン法では繰り返し計算が発散したので、シンプレックス法で15回反復計算した値を採用。
推定値：M = 515.006　　c = 0.69006　　y₀ = 2.40453
R² = 0.986551 　　F_β = 366.767(p = 4.40045×10^-10) ＞ F(2,10,0.05) = 4.103 … 有意水準5％で有意

表 付録7.4 ロジスティックモデルの分散分析表
(0〜12日のデータ)

要因	平方和	自由度	平均平方和(分散)	分散比(F値)
回帰	449768	2	224884	366.767
残差	6131.53	10	613.153
全体	455900	12

(注2)　個体数yとその変化速度vに関する定数項のない2次関数による回帰分析は、次のような重回帰モデルを用いた重回帰分析に相当します。 (→7.1 重回帰モデル (注1))

重回帰モデル：
　　 　　 　　
正規方程式：[Ｙ'Ｙ]ｂ = Ｙ'ｖ → ｂ = [Ｙ'Ｙ]^-1Ｙ'ｖ

この場合、定数項がないのでyとvからそれぞれの平均値を引かずに解を求めます。 そして説明変数の項をなくした最も単純な回帰モデルは定数項もないモデルv = 0になり、そのモデルの残差平方和はvの単純積和になります。 そのため回帰の分散分析における全体平方和はvの単純積和を用います。 そしてそれらを用いて普通の重回帰分析と同様に回帰の検定(重寄与率の検定)を行い、偏回帰係数と重回帰式の信頼区間などを求めることができます。

また2次回帰式はy = 0とy = Mの時にv = 0になるので、2次回帰曲線はその2点で横軸と交わります。 したがって2次回帰曲線の95％信頼区間が横軸と交わる点のyは、Mの95％信頼区間の近似逆推定値になります。 その値は、例えばニュートン法などを利用して近似的に求めることができます。 (→7.2 重回帰分析結果の解釈 (注3))

全体平方和： 　　φ_T = n
残差平方和： 　　φ_R = n-2
回帰平方和：S_β = S_T - S_R　　φ_β = 2
重寄与率：

表 付録7.1のデータについて計算すると次のようになります。

b₁ = 0.419934 　　95％信頼区間下限：b_1L = 0.368116　上限：b_1U = 0.471751
b₂ = -0.00060138 　　95％信頼区間下限：b_2L = -0.000682082　上限：b_2U = -0.000520677
M = 0.419934/0.00060138 = 698.284 　　95％信頼区間下限：M_L ≒ 683.323　上限：M_U ≒ 715.614
重寄与率：R² = 0.932825 　　F_β = 166.638(p = 8.44291×10^-15) ＞ F(2,24,0.05) = 3.403 … 有意水準5％で有意

表 付録7.5 2次回帰分析の分散分析表

要因	平方和(単純積和)	自由度	平均平方和(分散)	分散比(F値)
回帰	34216	2	17108	166.638
残差	2463.98	24	102.666
全体	36680	26

※0 〜 12日のデータを用いた時の結果
b₁ = 0.43254 　　95％信頼区間下限：b_1L = 0.317254　上限：b_1U = 0.547827
b₂ = -0.000652466 　　95％信頼区間下限：b_2L = -0.00092035　上限：b_2U = -0.000384583
M = 0.43254/0.000652466 = 662.931 　　95％信頼区間下限：M_L ≒ 581.638　上限：M_U ≒ 844.234
重寄与率：R² = 0.941101 　　F_β = 87.8796(p = 1.72031×10^-7) ＞ F(2,11,0.05) = 3.982 … 有意水準5％で有意

表 付録7.6 2次回帰分析の分散分析表(0〜12日のデータ)

要因	平方和(単純積和)	自由度	平均平方和(分散)	分散比(F値)
回帰	28412.8	2	14206.4	87.8796
残差	1778.23	11	161.657
全体	30191	13

(注3)　非線形最小2乗法によってロジスティック関数のy₀を求める時、その初期値y₀₀はデータ中の最小値または最小値/2にしてもかまいません。 しかしせっかくMが求められているので、Mとcを指定したロジット回帰分析によってもう少し正確な値を求めることができます。

ロジット変換：
ロジット回帰式：
→

表 付録7.1のデータについて計算すると次のようになります。

2次回帰分析より：M = 698.284　　c = 0.419934
ロジット回帰分析より：ly₀ = -4.326708 → y₀₀ = 9.10472
非線形最小2乗法より：y₀ = 13.9755(シンプレックス法で9回反復計算後の収束値)
※0〜12日のデータを用いた時の結果
2次回帰分析より：M = 662.931　　c = 0.43254
ロジット回帰分析より：ly₀ = -4.138916 → y₀₀ = 10.4014
非線形最小2乗法より：y₀ = 13.3867(シンプレックス法で9回反復計算後の収束値)

(注4)　ロジット回帰分析はロジットを用いた普通の1次回帰分析です。 そのためロジットに関する回帰の分散分析を行うことができます。 ただし0以下のデータとM以上のデータはロジットに変換できないので、繰り返し補完法によって計算に入れてy₀とcを求めます。 (→5.1 相関係数と回帰直線 (注4))

表 付録7.1のデータについて中心差分を用いて計算すると次のようになります。 このデータには0以下の値もM以上の値も無いので繰り返し補完法を使わずに計算できます。

ロジット変換：
ロジット回帰式：
2次回帰分析より：M = 692.909
ly₀ = -4.3491 → y₀ = 8.83711 　　95％信頼区間下限：ly_0L = -4.6174　上限：ly_0U = -4.08081
c = 0.447994 　　95％信頼区間下限：c_L = 0.42959　上限：c_U = 0.466399
重寄与率：R² = 0.99058 　　F_β = 2523.85(p ＜ 1.0×10^-16) ＞ F(1,24,0.05) = 4.260 … 有意水準5％で有意

表 付録7.9 ロジット回帰分析の分散分析表

要因	平方和	自由度	平均平方和(分散)	分散比(F値)
回帰	293.522	1	293.522	2523.85
残差	2.79118	24	0.116299
全体	296.313	25

※0 〜 12日のデータを用いた時の結果
2次回帰分析より：M = 615.926
ly₀ = -4.66635 → y₀ = 5.73974 　　95％信頼区間下限：ly_0L=-5.02401　上限：ly_0U = -4.30869
c = 0.543895 　　95％信頼区間下限：c_L = 0.493315　上限：c_U = 0.594476
重寄与率：R² = 0.98074 　　F_β = 560.144(p = 8.71993×10^-11) ＞ F(1,11,0.05)=4.844 … 有意水準5％で有意

表 付録7.10 ロジット回帰分析の分散分析表
(0〜12日のデータ)

要因	平方和	自由度	平均平方和(分散)	分散比(F値)
回帰	53.8396	1	53.8396	560.144
残差	1.05729	11	0.0961174
全体	54.8969	12

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